Solution of some half-strip problems in quadratures for the string vibration equation

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

In this paper, for an inhomogeneous string vibration equation, we consider a periodic in spatial variable and a mixed half-strip problems, the solutions of which are written in quadratures in the form of finite sums. When solving these problems we use the characteristic rectangle identity, Riemann invariants and the method of characteristics.

Full Text

Restricted Access

About the authors

O. M. Jokhadze

Andrea Razmadze Mathematical Institute of I. Javakhishvili Tbilisi State University

Author for correspondence.
Email: ojokhadze@yahoo.com
Georgia, Tbilisi

S. S. Kharibegashvili

Georgian Technical University, Department of Mathematics

Email: kharibegashvili@yahoo.com
Georgia, Tbilisi

References

  1. Rabinowitz, P. Large amplitude time periodic solutions of a semilinear wave equations / P. Rabinowitz // Comm. Pure Aple. Math. — 1984. — V. 37. — P. 189–206.
  2. Feireisl, E. On the existence of periodic solutions of a semilinear wave equation with a superlinear forcing term / E. Feireisl // Chechosl. Math. J. — 1988. — V. 38, № 1. — P. 78–87.
  3. Brezis, H. Periodic solutions of nonlinear vibrating string and duality principles / H. Brezis // Bull. Amer. Math. Soc. — 1983. — V. 8, № 3. — P. 409–426.
  4. Vejvoda, O. Partial Differential Equations: Time-Periodic Solutions / O. Vejvoda. — Leiden : Martinus Nijhoff Publishers, 1982. — 358 p.
  5. Рудаков, И.А. Периодические решения нелинейного волнового уравнения с граничными условиями Неймана и Дирихле / И.А. Рудаков // Изв. вузов. Математика. — 2007. — № 2. — С. 46–55. Rudakov, I.A. Periodic solutions of the nonlinear wave equation with Neumann and Dirichlet boundary conditions / I.A. Rudakov // News of Higher Educational Institutions. Mathematics. — 2007. — № 2. — P. 46–55.
  6. Рудаков, И.А. Нетривиальное периодическое решение нелинейного волнового уравнения с однородными граничными условиями / И.А. Рудаков // Дифференц. уравнения. — 2005. — Т. 41, № 10. — С. 1392–1399. Rudakov, I.A. Nontrivial periodic solution of a nonlinear wave equation with homogeneous boundary conditions / I.A. Rudakov // Differ. Equat. — 2005. — V. 41, № 10. — P. 1467–1475.
  7. Kiguradze, T. On periodic in the plane solutions of nonlinear hyperbolic equations / T. Kiguradze // Nonlinear Anal. Ser. A: Theory Methods. — 2000. — V. 39, № 2. — P. 173–185.
  8. Kiguradze, T. On bounded and time-periodic solutions of nonlinear wave equations / T. Kiguradze // J. Math. Anal. Appl. — 2001. — V. 259, № 1. — P. 253–276.
  9. Асанова, А.Т. Периодические на плоскости решения системы гиперболических уравнений второго порядка / А.Т. Асанова // Мат. заметки. — 2017. — Т. 101, № 1. — P. 20–30. Asanova, A.T. Periodic solutions in the plane of systems of second-order hyperbolic equations / A.T. Asanova // Math. Notes. — 2017. — V. 101, № 1. — P. 39–47.
  10. Колесов, А.Ю. Влияние квадратичной нелинейности на динамику периодических решений волнового уравнения / А.Ю. Колесов, Н.Х. Розов // Мат. сб. — 2002. — Т. 193, № 1. — P. 93–118. Kolesov, A.Yu. The influence of quadratic nonlinearity on the dynamics of periodic solutions of the wave equation / A.Yu. Kolesov, N.Kh. Rozov // Math. Collection. — 2002. — V. 193, № 1. — P. 93–118.
  11. Корзюк, В.И. Классическое решение первой смешанной задачи для гиперболического уравнения второго порядка в криволинейной полуполосе с переменными коэффициентами / В.И. Корзюк, И.И. Столярчук // Дифференц. уравнения. — 2017. — Т. 53, № 1. — С. 77–88. Korzyuk, V.I. Classical solution of the first mixed problem for second-order hyperbolic equation in curvilinear half-strip with variable coefficients / V.I. Korzyuk, I.I. Stolyarchuk // Differ. Equat. — 2017. — V. 53, № 1. — P. 74–87.
  12. Корзюк, В.И. Метод характеристического параллелограмма на примере первой смешанной задачи для одномерного волнового уравнения / В.И. Корзюк // Докл. НАН Беларуси. — 2017. — Т. 61, № 3. — С. 7–13. Korzyuk, V.I. The characteristic parallelogram method using the example of the first mixed problem for a one-dimensional wave equation / V.I. Korzyuk // Reports of the National Academy of Sciences of Belarus. — 2017. — V. 61, № 3. — P. 7–13.
  13. Корзюк, В.И. Уравнения математической физики / В.И. Корзюк. — М. : Ленанд, 2021. — 480 с. Korzyuk, V.I. Equations of mathematical physics / V.I. Korzyuk. — Moscow : Lenand, 2021. — 480 p.
  14. Харибегашвили, С.С. Периодическая по времени задача для слабо нелинейного телеграфного уравнения с наклонной производной в краевом условии / С.С. Харибегашвили, О.М. Джохадзе // Дифференц. уравнения. — 2015. — Т. 51, № 10. — С. 1376–1392. Kharibegashvili, S.S. Time-periodic problem for a weakly nonlinear telegraph equation with directional derivative in the boundary condition / S.S. Kharibegashvili, O.M. Dzhokhadze // Differ. Equat. — 2015. — V. 51, № 10. — P. 1369–1386.
  15. Харибегашвили, С.С. О разрешимости периодической задачи для слабо нелинейного телеграфного уравнения / С.С. Харибегашвили, О.М. Джохадзе // Сибирский мат. журн. — 2016. — Т. 57, № 4. — С. 735–743. Kharibegashvili, S.S. On solvability of a periodic problem for a nonlinear telegraph equation / S.S. Kharibegashvili, O.M. Dzhokhadze // Siberian Math. J. — 2016. — V. 57, № 4. — P. 735–743.
  16. Джохадзе, О.М. Смешанная задача с нелинейным граничным условием для полулинейного уравнения колебания струны / О.М. Джохадзе // Дифференц. уравнения. — 2022. — Т. 58, № 5. — С. 591–606. Dzhokhadze, O.M. Mixed problem with a nonlinear boundary condition for a semilinear wave equation / O.M. Dzhokhadze // Differ. Equat. — 2022. — V. 58, № 5. — P. 593–609.
  17. Тихонов, А.Н. Уравнения математической физики: учеб. пособие / А.Н. Тихонов, А.А. Самарский. — М. : Наука, 1977. — 736 с. Tikhonov, A.N. Equations of mathematical physics / A.N. Tikhonov, A.A. Samarsky. — Moscow : Nauka, 1977. — 736 p.
  18. Будак, Б.М. Сборник задач по математической физике / Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов. — 5-е изд. — М. : Наука, 1979. — 686 с. Budak, B.M. Collection of problems in mathematical physics / B.M. Budak, A.A. Samarsky, A.N. Tikhonov. — Moscow : Nauka, 1979. — 686 p.
  19. Бицадзе, А.В. Сборник задач по уравнениям математической физики / А.В. Бицадзе, Д.Ф. Калиниченко. — 2-е изд., доп. — М. : Наука, 1985. — 310 с. Bitsadze, A.V. Collection of problems on the equations of mathematical physics / A.V. Bitsadze, D.F. Kalinichenko. Moscow : Nauka, 1985. — 310 p.
  20. Владимиров, В.С. Уравнения математической физики / В.С. Владимиров. — 4-е изд. — М. : Наука, 1981. Vladimirov, V.S. Equations of mathematical physics / V.S. Vladimirov. — Moscow : Nauka, 1981.
  21. Сборник задач по уравнениям математической физики / В.С. Владимиров, А.А. Вашарин, Х.Х. Каримова [и др.]. — М. : Физматлит, 2003. — 288 с. Collection of problems on the equations of mathematical physics / V.S. Vladimirov, A.A. Vasharin, Kh.Kh. Karimova [et al.]. — Moscow : Fizmatlit, 2003. — 288 p.
  22. Смирнов, М.М. Задачи по уравнениям математической физики / М.М. Смирнов. — 2-е изд., доп. — М. : Наука, 1975. — 127 с. Smirnov, M.M. Problems on the equations of mathematical physics / M.M. Smirnov. — Moscow : Nauka, 1975. — 127 p.
  23. Кошляков, Н.С. Уравнения в частных производных математической физики / Н.С. Кошляков, Э.Б. Глинер, М.М. Смирнов. — 2-е изд. — М. : Высшая школа, 1970. — 710 с. Koshlyakov, N.S. Partial differential equations of mathematical physics / N.S. Koshlyakov, E.B. Gliner, M.M. Smirnov. — Moscow : Vyschaya Schkola, 1970. — 710 p.
  24. Бицадзе, А.В. Уравнения математической физики / А.В. Бицадзе. — М. : Наука, 1982. Bitsadze, A.V. Equations of mathematical physics / A.V. Bitsadze. — Moscow : Nauka, 1982.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2024 Russian Academy of Sciences