On Exact Solutions of a Multidimensional System of Elliptic Equations with Power-Law Nonlinearities

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

Equations and systems of elliptic type with power-law nonlinearities are considered.
Such equations are found in modeling distributed robotic formations, as well as in chemical kinetics,
biology, astrophysics, and many other fields. The problem of constructing multidimensional
exact solutions is studied. It is proposed to use a special type of ansatz that reduces the problem
to solving systems of algebraic equations. A number of multiparameter families of new exact
multidimensional solutions (both radially symmetric and anisotropic) represented by explicit
formulas are obtained. Examples are given to illustrate the exact solutions found.

About the authors

A. A. Kosov

Matrosov Institute for System Dynamics and Control Theory, Siberian Branch,
Russian Academy of Sciences

Email: kosov_idstu@mail.ru
Irkutsk, 664033 Russia

E. I. Semenov

Matrosov Institute for System Dynamics and Control Theory, Siberian Branch,
Russian Academy of Sciences

Author for correspondence.
Email: edwseiz@gmail.com
Irkutsk, 664033 Russia

References

  1. Shahzad M.M., Saeed. Z., Akhtar A., Munawar H., Yousaf M.H., Baloach N.K., Hussain F.A. Review of swarm robotics in a nutshell // Drones. 2023. V. 7. № 4. Art. 269.
  2. Muniganti P., Pujol A.O. A survey on mathematical models of swarm robotics // Conf. Paper. Workshop of Physical Agents. 2010. P. 29-30.
  3. Wei J., Fridman E., Johansson K.H. A PDE approach to deployment of mobile agents under leader relative position measurements // Automatica. 2019. V. 106. P. 47-53.
  4. Elamvazhuthi K., Berman S. Mean-field models in swarm robotics: a survey // Bioinspir Biomim. 2019. V. 15. № 1. Art. 015001.
  5. Kosov A.A., Semenov E.I. Distributed model of space exploration by two types of interacting robots and its exact solutions // J. of Physics: Conf. Ser. 2021. V. 1847. № 1. Art. 012007.
  6. Fujita H. On the blowing up of solutions of the Cauchy problem for $u_t=Delta u+u^1+alpha$ // J. Fac. Sci. Univ. Tokyo. Sect. I. 1966. V. 13. P. 109-124.
  7. Полянин А.Д., Зайцев В.Ф. Нелинейные уравнения математической физики. Ч. 2. М., 2017.
  8. Brezis H., Nirenberg L. Positive solutions of nonlinear elliptic equations involving critical Sobolev exponents // Comm. on Pure and Applied Mathematics. 1983. V. 34. P. 437-477.
  9. Похожаев С.И. О задаче Дирихле для уравнения $Delta u=u^2$ // Докл. АН СССР. 1960. Т. 134. № 4. С. 769-772.
  10. Похожаев С.И. Об одной задаче Л.В. Овсянникова // Прикл. механика и техн. физика. 1989. № 2. С. 5-10.
  11. Horedt, G.P. Topology of the Lane-Emden equation // Astronomy and Astrophysics. 1987. V. 117. № 1-2. P. 117-130.
  12. Bohmer C.G., Harko T. Nonlinear stability analysis of the Emden-Fowler equation // J. of Nonlin. Math. Phys. 2010. V. 17. P. 503-516.
  13. Косов А.А., Семенов Э.И. О существовании периодических решений одной нелинейной системы параболических уравнений четвёртого порядка // Итоги науки и техн. Сер. Совр. математика и её приложения. Темат. обзоры. 2021. Т. 196. С. 98-104.
  14. Sharaf K. Existence of solutions for elliptic nonlinear problems on the unit ball of $mathbb{R}^3$ // Electronic J. of Differ. Equat. 2016. V. 229. P. 1-9.
  15. Свирижев Ю.М. Нелинейные волны, диссипативные структуры и катастрофы в экологии. М., 1987.
  16. Березовская Ф.С., Карев Г.П. Бифуркации бегущих волн в популяционных моделях с таксисом // Успехи физ. наук. 1999. Т. 169. № 9. С. 1011-1024.
  17. Brezis H. Some variational problems with lack of compactness // Proc. of Symposia in Pure Math. 1986. V. 45. P. 167-201.
  18. Turing A.M. The chemical basis of morphogenesis // Phil. Trans. R. Soc. Lond. 1952. V. 237. P. 37-72.
  19. Maini P.K., Benson D.L., Sherratt J.A. Pattern formation in reaction-diffusion models with spatially inhomogeneoos diffusion coefficients // J. of Math. Appl. in Medicine & Biology. 1992. V. 9. P. 197-213.
  20. Lair A.V., Wood A.W. Existence of entire large positive solutions of semilinear elliptic systems // J. of Differ. Equat. 2000. V. 164. P. 380-394.
  21. Bozhkov Y., Freire I.L. Symmetry analysis of the bidimensional Lane-Emden systems // J. Math. Anal. Appl. 2012. V. 388. P. 1279-1284.
  22. Polyanin A.D., Kutepov A.M., Vyazmin A.V., Kazenin D.A. Hydrodynamics, Mass and Heat Transfer in Chemical Engineering. London; N.Y., 2002.
  23. Капцов О.В. Методы интегрирования уравнений с частными производными. М., 2009.
  24. Шмидт А.В. Точные решения систем уравнений типа реакция-диффузия // Вычислит. технологии. 1998. Т. 3. № 4. С. 87-94.
  25. Cherniha R., King J.R. Non-linear reaction-diffusion systems with variable diffusivities: Lie symmetries, ansatze and exact solutions // J. Math. Anal. Appl. 2005. V. 308. P. 11-35.
  26. Polyanin A.D., Zaitsev V.F. Handbook of Nonlinear Differential Equations. Boca Raton, 2012.
  27. Косов А.А., Семенов Э.И. O точных многомерных решениях одной нелинейной системы уравнений реакции-диффузии // Дифференц. уравнения. 2018. Т. 54. № 1. С. 108-122.
  28. Косов А.А., Семенов Э.И. О точных многомерных решениях системы уравнений реакции-диффузии со степенными нелинейностями // Сиб. мат. журн. 2017. Т. 58. № 4. С. 796-812.
  29. Kosov A.A., Semenov E.I., Tirskikh V.V. On exact multidimensional solutions of a nonlinear system of first order partial differential equation // Изв. Иркутского гос. ун-та. Сер. Математика. 2019. Т. 28. С. 53-68.
  30. Косов А.А., Семенов Э.И. Новые точные решения уравнения диффузии со степенной нелинейностью // Сиб. мат. журн. 2022. Т. 63. № 6. С. 1282-1299.
  31. Косов А.А., Семенов Э.И. Анизотропные решения нелинейной кинетической модели эллиптического типа // Вестн. Южно-Уральского гос. ун-та. Сер. Мат. моделирование и программирование. 2020. Т. 13. № 4. С. 48-57.
  32. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М., 1988.
  33. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М., 1971.
  34. Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. М., 1954.
  35. Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М., 2001.
  36. Полянин А.Д., Зайцев В.Ф. Нелинейные уравнения математической физики: справочник. М., 2002.
  37. Полянин А.Д., Зайцев В.Ф. Нелинейные уравнения математической физики. Ч. 1. М., 2017.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2023 Russian Academy of Sciences