USTIFICATION OF THE GALERKIN METHOD FOR SOLVING SINGULAR INTEGRODIFFERENTIAL EQUATIONS WITH FRACTIONAL DERIVATIVES

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription or Fee Access

Abstract

Currently, there are more than 30 different definitions of the fractional derivative, and their number continues to grow. Some of them are just “mind games”, but others are introduced to solve serious mathematical problems. In this paper, a new definition of the fractional order derivative is given, based on generalization of the Jacobi polynomial differentiation formula. This made it possible to introduce a scale of orthogonal polynomial systems whose closures are Sobolev spaces. The use of these derivatives made it possible to set the problem of solving singular integrodifferential equations with a Cauchy kernel on an open circuit. The existence and uniqueness of the solution of such equations is proved, and the Galerkin method for their approximate solution is substantiated. The convergence of the method is proved, and estimates of the error of approximate solutions are obtained.

About the authors

A. I Fedotov

A.N. Tupolev Kazan National Research Technical University

Email: fedotovkazan@mail.ru
Kazan

References

  1. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техн., 1987. 688 с.
  2. Khalil R., Al Horani M., Yousef A., Sababhehb M. A new definition of fractional derivative // J. of Comput. and Appl. Math. 2014. N 264. P. 65–70.
  3. Ross B. The development of fractional calculus 1695–1900 // Historia math. 1977. N 4. P. 75–89.
  4. Hilfer R., Luchko Yu. Disederata for fractional derivatives and integrals // Mathematics. 2019. 7. 149. https://doi.org/10.3390/math7020149
  5. Федотов А.И. Обоснование квадратурно-разностного метода решения интегродифференциальных уравнений с производными переменного порядка // Ж. вычисл. матема. и матем. физ. 2022. Т. 62. № 4. С. 564–579.
  6. Badr A. A., Integro-Differential Equation with Cauchy Kernel // J. Comput. Appl. Math. No 134, 191 (2001).
  7. Frankel J.I. A Galerkin solution to a regularized Cauchy singular integro-differential equation // Quart. Appl. Math. 1995. V. 53. No 2. P. 245–258.
  8. Fedotov A.I. Justification of the Galerkin method for one class of singular integro-differential equations on an interval // Lobachevskii journal of mathematics. 2008. V. 29. No 2. P. 73–81.
  9. Fedotov A.I. Justification of a Galerkin method for a regularized Cauchy singular integro-differential equation // Quart. Appl. Math. 2009. V. 67. No 3. P. 541–552.
  10. Градштейн И. С., Рыжик И. М., Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Мир. 1985. 1100 с.
  11. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984. 752 c.
  12. Габдулхаев Б.Г. Оптимальные аппроксимации решений линейных задач. Казань: Изд-во Казан. ун-та 1980. 231 c.
  13. Тейлор M., Псевдодифференциальные операторы. М.: Мир. 1984. 472 с.
  14. Хведелидзе Б.В. Линейные разрывные задачи теории функций и некоторые их риложения // Труды Тбилисского матем. инст. Академии наук Грузинской ССР. 1956. Т. 23. С. 3–158.
  15. Даутов Р.З., Тимербаев М.Р. Точные оценки аппроксимации полиномами в весовых пространствах Соболева // Дифференц. ур-ния. 2015. Т. 51. № 7. С. 886–894. https://doi.org/10.1134/S0012266115070071
  16. Крикунов Ю.М. О решении обобщенной краевой задачи Римана и линейного снгулярного интегродифференциального уравнения // Ученые записки КГУ. 1952. Т. 112. № 10. С. 191–199.
  17. Fedotov A.I. Обоснование методов Галеркина и коллокаций для одного класса сингулярных интегродифференциальных уравнений на отрезке // Уфимский матем. журнал. 2012. Т. 13. № 4. С. 91–111.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2024 Russian Academy of Sciences