Analysis of Peak Effects of Solutions of a Class of Difference Equations

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription or Fee Access

Abstract

Рассматривается класс хорошо известных из литературы трехчленных линейных разностных уравнений высокого порядка и исследуется неасимптотическое поведение их решений при ненулевых начальных условиях из единичного куба. Показано, что для некоторых подмножеств коэффициентов из области устойчивости всегда найдутся начальные условия, приводящие к всплеску – большому отклонению решений от положения равновесия, и что эти отклонения могут быть сколь угодно велики. Исследованы разнообразные частные случаи, приводятся примеры.

About the authors

P. S Shcherbakov

Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН; Московский физико-технический институт

Email: cavour118@mail.ru
д-р физ.-мат. наук Москва; Долгопрудный

References

  1. Техническая кибернетика. Теория автоматического регулирования // Под ред. д-ра техн. наук, проф. В.В. Солодовникова. Кн. 2. Анализ и синтез линейных непрерывных и дискретных систем автоматического регулирования. М.: Машиностроение, 1967.
  2. Первозванский А.А. Курс теории автоматического управления. М.: Наука, 1986.
  3. Danilova M., Kulakova A., Polyak B. Non-monotone Behavior of the Heavy Ball Method / In: Bohner M., Siegmund S., Simon Hilscher R., Stehlik P. (eds) Difference Equations and Discrete Dynamical Systems with Applications. Springer Proceedings in Mathematics and Statistics, V. 312. Springer, 2020. P. 213–230 (Proc. 24th International Conference on Difference Equations and Applications. Dresden, Germany, May, 2018).
  4. Поляк Б.Т., Тремба А.А., Хлебников М.В., Щербаков П.С., Смирнов Г.В. Большие отклонения в линейных системах при ненулевых начальных условиях // АиТ. 2015. № 6. С. 18–41. Polyak B.T., Tremba A.A, Khlebnikov M.V., Shcherbakov P.S, Smirnov G.V. Large Deviations in Linear Control Systems with Nonzero Initial Conditions // Autom. Remote Control. 2016. V. 76. No. 6. P. 957–976.
  5. Polyak B.T., Smirnov G. Large Deviations for Non-zero Initial Conditions in Linear Systems // Automatica. 2016. V. 74. No. 12. P. 297–307.
  6. Polyak B.T., Shcherbakov P.S., Smirnov G. Peak Effects in Stable Linear Difference Equations // J. Difference Eqs. Appl. 2018. V. 24. No. 9. P. 1488–1502.
  7. Поляк Б.Т., Смирнов Г.В. Переходные процессы в матричных дискретных линейных системах // АиТ. 2019. № 9. С. 112–121. Polyak B.T., Smirnov G.V. Transient Response in Matrix Discrete-Time Linear Systems // Autom. Remote Control. 2019. V. 80. No. 9. P. 1645–1652.
  8. Shcherbakov P., Dabbene F., Polyak B. Solutions of Stable Difference Equations Probably Experience Peak // IFAC-PapersOnLine. 2020. V. 53. No. 2. P. 4762–4767 (Proc. World Congress of IFAC, Jul 11-17, 2020, Berlin).
  9. Измайлов Р.Н. Эффект "всплеска" в стационарных линейных системах со скалярными входами и выходами // АиТ. 1987. № 8. С. 56–62. Izmailov R.N. The Peak Effect in Stationary Linear Systems with Scalar Inputs and Outputs // Autom. Remote Control. 1987. V. 48 No. 8. P. 1018–1024.
  10. Коган М.М., Кривдина Л.Н. Синтез многоцелевых линейных законов управления дискретными объектами при интегральных и фазовых ограничениях // АиТ. 2011. № 7. С. 83–95. Kogan M.M., Krivdina L.N. Synthesis of Multipurpose Linear Control Laws of Discrete Objects under Integral and Phase Constraints // Autom. Remote Control. 2011. V. 72. No. 7. P. 1427–1439.
  11. Агиевич В.Н., Парсегов С.Э., Щербаков П.С. Верхние оценки всплеска в линейных дискретных системах // АиТ. 2018. № 11. С. 32–46. Ahiyevich U.M., Parsegov S.E., Shcherbakov P.S. Upper Bounds on Peaks in Discrete-Time Linear Systems // Autom. Remote Control. 2018. V. 79. No. 11. P. 1976–1988.
  12. Delyon B., Izmailov R., Juditsky A. The Projection Algorithm and Delay of Peaking in Adaptive Control // IEEE Trans. Autom. Control. 1993. V. 38. No. 4. P. 581–584.
  13. Kozyakin V.S., Kuznetsov N.A., Pokrovskii A.V. Transients in Quasi-controllable Systems. Overshooting, Stability and Instability // IFAC Proceedings Volumes. 1993. V. 26. No. 4. P. 871–874.
  14. Elaydi S. An Introduction to Difference Equations. New York: Springer, 2005.
  15. Shcherbakov P., Dabbene F. A Probabilistic Point of View on Peak Effects in Linear Difference Equations // Eur. J. Control. 2022. V. 63. P. 107–115.
  16. Kuruklis S. The Asymptotic Stability of xn+1 − axn + bxn−k = 0 // J. Math. Anal. Appl. 1994. V. 188. P. 719–731.
  17. Dannan F. The Asymptotic Stability of x(n + k) + ax(n) + bx(n − l) = 0 // J. Difference Eqs. Appl. 2004. V. 10. No. 6. P. 589–599.
  18. Кипнис М.М., Нигматуллин М. Устойчивость трехчленных линейных разностных уравнений с двумя запаздываниями // АиТ. 2004. № 11. С. 25–39. Kipnis M.M., Nigmatullin M. Stability of the Trinomial Linear Difference Equations with Two Delays // Autom. Remote Control. 2004. V. 65. No. 11. P. 1710–1723.
  19. Cerm´ak J., J´anisk´y J. Stability Switches in Linear Delay Difference Equations // Appl. Math. Comput. 2014. V. 243. P. 755–766.
  20. Kipnis M., Komissarova D. Stability of a Delay Difference System // Advances in Difference Equations. 2006. Article ID 31409. https://doi.org/10.1155/ADE/2006/31409, 2006.
  21. Matsunaga H. Exact Stability Criteria for Delay Differential and Difference Equations // Applied Math. Lett. 2007. V. 20. No. 2. P. 183–188.
  22. Patade J., Bhalekar S. Analytical Solution of Pantograph Equation with Incommensurate Delay // Phys. Scie. Rev. 2017. V. 2. Issue 9, id. 5103. https://doi.org/10.1515/psr-2016-5103.
  23. Clark C.W. A Delay-Recruitment Model, with an Application to Baleen Whale Population // J. Math. Biol. 1976. V. 3. P. 381–391.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2024 The Russian Academy of Sciences