Stabilization of chain of integrators under state constraints

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription or Fee Access

Abstract

The problem of stabilizing the origin for dynamical systems written as a chain of integrators of arbitrary length is solved, taking into account constraints on absolute values of the state variables. It is shown that linear stabilizing state feedback based on the modal control principle ensures the fulfillment of the specified constraints on the state variables when choosing roots of the characteristic polynomial of the closed-loop system to satisfy nonlinear inequalities. The derived conditions on the roots of the characteristic polynomial are based on the results obtained using the integrator backstepping design combined with logarithmic barrier Lyapunov functions. As an illustrative example, the solution to the problem of stabilizing a given angular position of a single-link manipulator is considered. It is guaranteed that magnitude constraints on values of the angular coordinate, angular velocity, angular acceleration and jerk of the manipulator end-point are satisfied.

Full Text

Restricted Access

About the authors

А. Е. Golubev

Ishlinsky Institute for Problems in Mechanics, RAS

Author for correspondence.
Email: v-algolu@hotmail.com
Russian Federation, Moscow

References

  1. Fliess M., Lévine J., Martin P., Rouchon P. A Lie-Backlund Approach to Equivalence and Flatness of Nonlinear Systems // IEEE Trans. Autom. Control. 1999. V. 44 (5). P. 922–937.
  2. Четвериков В.Н. Плоскостность динамически линеаризуемых систем // Дифференц. уравнения. 2004. Т. 40. № 12. С. 1665–1674.
  3. Fetisov D.A. On Feedback Linearization of Multi-Input Nonlinear Control Systems via Time Scaling and Prolongation // European Journal of Control. 2024. V. 77. 100983.
  4. Краснощеченко В.И., Крищенко А.П. Нелинейные системы: геометрические методы анализа и синтеза. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2005. 520 с.
  5. Андреев Ю.Н. Управление конечномерными линейными объектами. М.: Наука, 1976. 424 с.
  6. Sussmann H.J., Kokotovic P.V. The Peaking Phenomenon and the Global Stabilization of Nonlinear Systems // IEEE Transactions on Automatic Control. 1991. V. 36 (4). P. 424–440.
  7. Lauvdal T., Murray R.M., Fossen T.I. Stabilization of Integrator Chains in the Presence of Magnitude and Rate Saturations: a Gain Scheduling Approach // Proc. 36th IEEE Conf. on Decision and Control. San Diego, CA, USA, 1997. V. 4. P. 4004–4005.
  8. Решмин С.А. Синтез управления двузвенным манипулятором // Изв. РАН. ТиСУ. 1997. № 2. С. 146–150.
  9. Решмин С.А., Черноусько Ф.Л. Синтез управления в нелинейной динамической системе на основе декомпозиции // ПММ. 1998. Т. 62. Вып. 1. С. 121–128.
  10. Решмин С.А. Метод декомпозиции в задаче управления перевернутым двойным маятником с использованием одного управляющего момента // Изв. РАН. ТиСУ. 2005. № 6. С. 28–45.
  11. Laporte J., Chaillet A., Chitour Y. Global Stabilization of Multiple Integrators by a Bounded Feedback with Constraints on its Successive Derivatives // Proc. of the 54th IEEE Conf. on Decision and Control (CDC). Osaka, Japan, 2015. P. 3983–3988.
  12. Kochetkov S.A., Krasnova S.A., Antipov A.S. Cascade Synthesis of Electromechanical Tracking Systems with Respect to Restrictions on State Variables // IFAC-PapersOnLine. 2017. V. 50 (1). P. 10142–10147.
  13. Пестерев А.В., Морозов Ю.В. Глобальная стабилизация интегратора второго порядка обратной связью в виде вложенных сатураторов // АиТ. 2024. № 4. C. 55–60.
  14. Пестерев А.В., Морозов Ю.В. Стабилизация интегратора третьего порядка с фазовым ограничением // АиТ. 2024. № 7. C. 32–41.
  15. Кокунько Ю.Г., Краснова С.А. Формирование эталонных траекторий для беспилотных колесных платформ с учетом ограничений на скорость, ускорение и рывок // Мехатроника, автоматизация, управление. 2024. Т. 25. № 6. С. 320–331.
  16. Krstić M., Kanellakopoulos I., Kokotović P.V. Nonlinear and Adaptive Control Design. John Wiley and Sons, 1995. 563 p.
  17. Ngo K.B., Mahony R., Jiang Z.P. Integrator Backstepping Using Barrier Functions for Systems with Multiple State Constraints // Proc. 44th IEEE Conf. on Decision and Control, and the European Control Conf. Seville, Spain, 2005. P. 8306–8312.
  18. Tee K.P., Ge S.S., Tay E.H. Barrier Lyapunov Functions for the Control of Output-constrained Nonlinear Systems // Automatica. 2009. V. 45 (4). P. 918–927.
  19. Голубев А.Е. Стабилизация программных движений механических систем с учетом ограничений // Изв. РАН. ТиСУ. 2023. № 4. C. 153–167.
  20. Голубев А.Е. Стабилизация нелинейных динамических систем с учетом ограничений на состояния при помощи метода бэкстеппинга // Дифференц. уравнения. 2024. Т.60. № 5. C. 660–671.
  21. Khalil H.K. Nonlinear Systems. 3rd edition. Upper Saddle River: Prentice Hall, 2002.
  22. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1968.
  23. Голубев А.Е. Стабилизация однозвенного манипулятора при неполном измерении состояния: обратная связь по угловой координате звена манипулятора // Наука и образование: научное издание МГТУ им. Н.Э. Баумана. 2012. № 11. С. 395–412

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download
2. Fig. 1. Angular coordinate x1(t) of the manipulator's working link as a function of time (solid curve) and guaranteed boundary values |x1|=M1 (dashed straight lines).

Download (56KB)
Indexing metadata
3. Fig. 2. Angular velocity x2(t) of the manipulator's working link as a function of time (solid curve), its estimate (2.28) (dashed curve) and guaranteed boundary values |x2|=M2 (dashed straight lines).

Download (58KB)
Indexing metadata
4. Fig. 3. Angular acceleration x2(t) of the manipulator's working link as a function of time (solid curve), its estimate (2.28) (dashed curve) and guaranteed boundary values ||=M3 (dashed straight lines).

Download (60KB)
Indexing metadata
5. Fig. 4. Angular jerk of the manipulator working link as a function of time (solid curve), its estimate (2.28) (dashed curve) and guaranteed boundary values (dashed straight lines).

Download (59KB)
Indexing metadata
6. Fig. 5. Control torque u(t) as a function of time (solid curve).

Download (50KB)
Indexing metadata

Copyright (c) 2025 Russian Academy of Sciences