A mechanical system is considered, which is an inverted pendulum mounted on a cart. The cart moves along a horizontal line under the action of a bounded control force. The pendulum can deflect in a vertical plane passing through this line. The dynamics of the system is studied in a linear approximation. Based on Pontryagin’s maximum principle, the problem of synthesizing the optimal speed of movement of the cart to a given point on the line with the pendulum stopping in the upper position is solved. A description of the sets in the phase space on which the control function changes sign is given, the behavior of the optimal trajectories is studied. The approach used consists of sequentially solving the problems of time-optimal control for subsystems of lower dimension.
Рассматривается механическая система, представляющая собой перевернутый маятник, установленный на тележке. Тележка перемещается вдоль горизонтальной прямой под действием ограниченной управляющей силы. Маятник может отклоняться в вертикальной плоскости, проходящей через эту прямую. Динамика системы изучается в линейном приближении. На основе принципа максимума Понтрягина решена задача синтеза оптимального по быстродействию перемещения тележки в заданную точку прямой с остановкой маятника в верхнем положении. Дано описание множеств в фазовом пространстве, на которых управляющая функция меняет знак, изучено поведение оптимальных траекторий. Примененный подход состоит в последовательном решении задач оптимального быстродействия для подсистем меньшей размерности.